3.214 \(\int \frac{(a+b \sec (e+f x))^{5/2}}{(c+d \sec (e+f x))^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=891 \[ -\frac{2 \sqrt{a+b} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\cos (e+f x)+1)}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} (d+c \cos (e+f x))^{3/2} \csc (e+f x) \Pi \left (\frac{(a+b) c}{a (c+d)};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)} a^2}{c^3 \sqrt{c+d} f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{2 (b c-a d)^2 \sqrt{a+b \sec (e+f x)} \sin (e+f x)}{3 c \left (c^2-d^2\right ) f (d+c \cos (e+f x)) \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}-\frac{2 (a-b) \sqrt{a+b} \left (7 a c^2-4 b d c-3 a d^2\right ) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\cos (e+f x)+1)}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} (d+c \cos (e+f x))^{3/2} \csc (e+f x) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)}}{3 c^2 (c-d)^2 (c+d)^{3/2} f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{2 \sqrt{a+b} \left (\left (9 c^3-2 d c^2-6 d^2 c+3 d^3\right ) a^2-b c \left (7 c^2+4 d c-3 d^2\right ) a+b^2 c^2 (c+3 d)\right ) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\cos (e+f x)+1)}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} (d+c \cos (e+f x))^{3/2} \csc (e+f x) \text{EllipticF}\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right ),\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)}}{3 c^3 (c-d)^2 (c+d)^{3/2} f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}} \]

[Out]

(-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(7*a*c^2 - 4*b*c*d - 3*a*d^2)*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*
Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])
^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*
x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(3*c^2*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[b
+ a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(b^2*c^2*(c + 3*d) - a*b*c*(7*c^2 + 4*c*d - 3*d^2
) + a^2*(9*c^3 - 2*c^2*d - 6*c*d^2 + 3*d^3))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f
*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Cs
c[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((
a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(3*c^3*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[b + a*Cos[e
+ f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*a^2*Sqrt[a + b]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d +
c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x
])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[
a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c^3*Sqrt[c
+ d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*(b*c - a*d)^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e +
f*x])/(3*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.00892, antiderivative size = 891, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 7, integrand size = 29, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.241, Rules used = {3942, 2792, 3053, 2811, 2998, 2818, 2996} \[ -\frac{2 \sqrt{a+b} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\cos (e+f x)+1)}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} (d+c \cos (e+f x))^{3/2} \csc (e+f x) \Pi \left (\frac{(a+b) c}{a (c+d)};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)} a^2}{c^3 \sqrt{c+d} f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{2 (b c-a d)^2 \sqrt{a+b \sec (e+f x)} \sin (e+f x)}{3 c \left (c^2-d^2\right ) f (d+c \cos (e+f x)) \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}-\frac{2 (a-b) \sqrt{a+b} \left (7 a c^2-4 b d c-3 a d^2\right ) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\cos (e+f x)+1)}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} (d+c \cos (e+f x))^{3/2} \csc (e+f x) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)}}{3 c^2 (c-d)^2 (c+d)^{3/2} f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{2 \sqrt{a+b} \left (\left (9 c^3-2 d c^2-6 d^2 c+3 d^3\right ) a^2-b c \left (7 c^2+4 d c-3 d^2\right ) a+b^2 c^2 (c+3 d)\right ) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\cos (e+f x)+1)}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} (d+c \cos (e+f x))^{3/2} \csc (e+f x) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)}}{3 c^3 (c-d)^2 (c+d)^{3/2} f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^(5/2),x]

[Out]

(-2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(7*a*c^2 - 4*b*c*d - 3*a*d^2)*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*
Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])
^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*
x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(3*c^2*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[b
+ a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*Sqrt[a + b]*(b^2*c^2*(c + 3*d) - a*b*c*(7*c^2 + 4*c*d - 3*d^2
) + a^2*(9*c^3 - 2*c^2*d - 6*c*d^2 + 3*d^3))*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d + c*Cos[e + f
*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x])^(3/2)*Cs
c[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((
a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(3*c^3*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*f*Sqrt[b + a*Cos[e
+ f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) - (2*a^2*Sqrt[a + b]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Cos[e + f*x]))/((a + b)*(d +
c*Cos[e + f*x])))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Cos[e + f*x]))/((a - b)*(d + c*Cos[e + f*x])))]*(d + c*Cos[e + f*x
])^(3/2)*Csc[e + f*x]*EllipticPi[((a + b)*c)/(a*(c + d)), ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]])/(Sqrt[
a + b]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]])/(c^3*Sqrt[c
+ d]*f*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]]) + (2*(b*c - a*d)^2*Sqrt[a + b*Sec[e + f*x]]*Sin[e +
f*x])/(3*c*(c^2 - d^2)*f*(d + c*Cos[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])

Rule 3942

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Dist
[(Sqrt[d + c*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])/(Sqrt[b + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]), Int[
((b + a*Sin[e + f*x])^m*(d + c*Sin[e + f*x])^n)/Sin[e + f*x]^(m + n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}
, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[m + 1/2] && IntegerQ[n + 1/2] && LeQ[-2, m + n, 0]

Rule 2792

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -S
imp[((b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(
d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2)), x] + Dist[1/(d*(n + 1)*(c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 3)*(c + d*Sin[e +
f*x])^(n + 1)*Simp[b*(m - 2)*(b*c - a*d)^2 + a*d*(n + 1)*(c*(a^2 + b^2) - 2*a*b*d) + (b*(n + 1)*(a*b*c^2 + c*
d*(a^2 + b^2) - 3*a*b*d^2) - a*(n + 2)*(b*c - a*d)^2)*Sin[e + f*x] + b*(b^2*(c^2 - d^2) - m*(b*c - a*d)^2 + d*
n*(2*a*b*c - d*(a^2 + b^2)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &
& NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 2] && LtQ[n, -1] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n])

Rule 3053

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.
)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[C/b^2, Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f
*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] + Dist[1/b^2, Int[(A*b^2 - a^2*C + b*(b*B - 2*a*C)*Sin[e + f*x])/((a + b
*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a
*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 2811

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[
(2*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a
*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*EllipticPi[(b*(c + d))/(d*(a + b)), ArcSin[(Rt[(a + b
)/(c + d), 2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))])/(d*f*
Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2
, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

Rule 2998

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[(A - B)/(a - b), Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e
+ f*x]]), x], x] - Dist[(A*b - a*B)/(a - b), Int[(1 + Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin
[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
- d^2, 0] && NeQ[A, B]

Rule 2818

Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Si
mp[(2*(c + d*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c
- a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*EllipticF[ArcSin[Rt[(c + d)/(a + b), 2]*(Sqrt[a +
b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))])/(f*(b*c - a*d)*Rt[(c + d)/(a
+ b), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c
^2 - d^2, 0] && PosQ[(c + d)/(a + b)]

Rule 2996

Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin
[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(-2*A*(c - d)*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*
x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*
EllipticE[ArcSin[(Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d)
)/((a + b)*(c - d))])/(f*(b*c - a*d)^2*Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A,
B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[A, B] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(a+b \sec (e+f x))^{5/2}}{(c+d \sec (e+f x))^{5/2}} \, dx &=\frac{\left (\sqrt{d+c \cos (e+f x)} \sqrt{a+b \sec (e+f x)}\right ) \int \frac{(b+a \cos (e+f x))^{5/2}}{(d+c \cos (e+f x))^{5/2}} \, dx}{\sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}\\ &=\frac{2 (b c-a d)^2 \sqrt{a+b \sec (e+f x)} \sin (e+f x)}{3 c \left (c^2-d^2\right ) f (d+c \cos (e+f x)) \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{\left (2 \sqrt{d+c \cos (e+f x)} \sqrt{a+b \sec (e+f x)}\right ) \int \frac{\frac{1}{2} \left (7 a b^2 c^2-5 a^2 b c d-3 b^3 c d+a^3 d^2\right )+\frac{1}{2} \left (b^3 c^2-3 a^3 c d-5 a b^2 c d+a^2 b \left (9 c^2-2 d^2\right )\right ) \cos (e+f x)+\frac{3}{2} a^3 \left (c^2-d^2\right ) \cos ^2(e+f x)}{\sqrt{b+a \cos (e+f x)} (d+c \cos (e+f x))^{3/2}} \, dx}{3 c \left (c^2-d^2\right ) \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}\\ &=\frac{2 (b c-a d)^2 \sqrt{a+b \sec (e+f x)} \sin (e+f x)}{3 c \left (c^2-d^2\right ) f (d+c \cos (e+f x)) \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{\left (a^3 \sqrt{d+c \cos (e+f x)} \sqrt{a+b \sec (e+f x)}\right ) \int \frac{\sqrt{d+c \cos (e+f x)}}{\sqrt{b+a \cos (e+f x)}} \, dx}{c^3 \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{\left (2 \sqrt{d+c \cos (e+f x)} \sqrt{a+b \sec (e+f x)}\right ) \int \frac{-\frac{3}{2} a^3 d^2 \left (c^2-d^2\right )+\frac{1}{2} c^2 \left (7 a b^2 c^2-5 a^2 b c d-3 b^3 c d+a^3 d^2\right )+c \left (-3 a^3 d \left (c^2-d^2\right )+\frac{1}{2} c \left (b^3 c^2-3 a^3 c d-5 a b^2 c d+a^2 b \left (9 c^2-2 d^2\right )\right )\right ) \cos (e+f x)}{\sqrt{b+a \cos (e+f x)} (d+c \cos (e+f x))^{3/2}} \, dx}{3 c^3 \left (c^2-d^2\right ) \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}\\ &=-\frac{2 a^2 \sqrt{a+b} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\cos (e+f x))}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} (d+c \cos (e+f x))^{3/2} \csc (e+f x) \Pi \left (\frac{(a+b) c}{a (c+d)};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)}}{c^3 \sqrt{c+d} f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{2 (b c-a d)^2 \sqrt{a+b \sec (e+f x)} \sin (e+f x)}{3 c \left (c^2-d^2\right ) f (d+c \cos (e+f x)) \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{\left ((b c-a d)^2 \left (7 a c^2-4 b c d-3 a d^2\right ) \sqrt{d+c \cos (e+f x)} \sqrt{a+b \sec (e+f x)}\right ) \int \frac{1+\cos (e+f x)}{\sqrt{b+a \cos (e+f x)} (d+c \cos (e+f x))^{3/2}} \, dx}{3 c^2 (c-d) \left (c^2-d^2\right ) \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{\left (\left (b^3 c^3 (c+3 d)-a b^2 c^3 (7 c+5 d)+a^2 b c^2 \left (9 c^2+5 c d-2 d^2\right )-a^3 d \left (9 c^3-2 c^2 d-6 c d^2+3 d^3\right )\right ) \sqrt{d+c \cos (e+f x)} \sqrt{a+b \sec (e+f x)}\right ) \int \frac{1}{\sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}} \, dx}{3 c^3 (c-d) \left (c^2-d^2\right ) \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}\\ &=-\frac{2 (a-b) \sqrt{a+b} \left (7 a c^2-4 b c d-3 a d^2\right ) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\cos (e+f x))}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} (d+c \cos (e+f x))^{3/2} \csc (e+f x) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)}}{3 c^2 (c-d)^2 (c+d)^{3/2} f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{2 \sqrt{a+b} \left (b^2 c^2 (c+3 d)-a b c \left (7 c^2+4 c d-3 d^2\right )+a^2 \left (9 c^3-2 c^2 d-6 c d^2+3 d^3\right )\right ) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\cos (e+f x))}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} (d+c \cos (e+f x))^{3/2} \csc (e+f x) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)}}{3 c^3 (c-d)^2 (c+d)^{3/2} f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}-\frac{2 a^2 \sqrt{a+b} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\cos (e+f x))}{(a+b) (d+c \cos (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\cos (e+f x))}{(a-b) (d+c \cos (e+f x))}} (d+c \cos (e+f x))^{3/2} \csc (e+f x) \Pi \left (\frac{(a+b) c}{a (c+d)};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{b+a \cos (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{d+c \cos (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sqrt{a+b \sec (e+f x)}}{c^3 \sqrt{c+d} f \sqrt{b+a \cos (e+f x)} \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}+\frac{2 (b c-a d)^2 \sqrt{a+b \sec (e+f x)} \sin (e+f x)}{3 c \left (c^2-d^2\right ) f (d+c \cos (e+f x)) \sqrt{c+d \sec (e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.69505, size = 1996, normalized size = 2.24 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)/(c + d*Sec[e + f*x])^(5/2),x]

[Out]

((d + c*Cos[e + f*x])^3*(a + b*Sec[e + f*x])^(5/2)*((2*(b^2*c^2*Sin[e + f*x] - 2*a*b*c*d*Sin[e + f*x] + a^2*d^
2*Sin[e + f*x]))/(3*c*(c^2 - d^2)*(d + c*Cos[e + f*x])^2) + (2*(7*a*b*c^3*Sin[e + f*x] - 7*a^2*c^2*d*Sin[e + f
*x] - 4*b^2*c^2*d*Sin[e + f*x] + a*b*c*d^2*Sin[e + f*x] + 3*a^2*d^3*Sin[e + f*x]))/(3*c*(c^2 - d^2)^2*(d + c*C
os[e + f*x]))))/(f*(b + a*Cos[e + f*x])^2*(c + d*Sec[e + f*x])^(5/2)) + ((d + c*Cos[e + f*x])^(5/2)*(a + b*Sec
[e + f*x])^(5/2)*((4*(b*c - a*d)*(2*a^2*b*c^3 + b^3*c^3 + a^3*c^2*d - 8*a*b^2*c^2*d + 2*a^2*b*c*d^2 + 3*b^3*c*
d^2 - a^3*d^3)*Sqrt[((c + d)*Cot[(e + f*x)/2]^2)/(c - d)]*Sqrt[((c + d)*(b + a*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^
2)/(b*c - a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]*Csc[e + f*x]*EllipticF[
ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]/Sqrt[2]], (2*(b*c - a*d))/((a +
b)*(c - d))]*Sin[(e + f*x)/2]^4)/((a + b)*(c + d)*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]]) + 4*(b*c
- a*d)*(3*a^3*c^3 - 7*a*b^2*c^3 + 4*b^3*c^2*d + a^3*c*d^2 + 3*a*b^2*c*d^2 - 4*a^2*b*d^3)*((Sqrt[((c + d)*Cot[(
e + f*x)/2]^2)/(c - d)]*Sqrt[((c + d)*(b + a*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*(d
+ c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]*Csc[e + f*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[
e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]/Sqrt[2]], (2*(b*c - a*d))/((a + b)*(c - d))]*Sin[(e + f*x)/2]^4)/(
(a + b)*(c + d)*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]]) - (Sqrt[((c + d)*Cot[(e + f*x)/2]^2)/(c - d
)]*Sqrt[((c + d)*(b + a*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Cs
c[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]*Csc[e + f*x]*EllipticPi[(b*c - a*d)/((a + b)*c), ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*(d + c
*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]/Sqrt[2]], (2*(b*c - a*d))/((a + b)*(c - d))]*Sin[(e + f*x)/2]
^4)/((a + b)*c*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]])) + 2*(-7*a^2*b*c^3 + 7*a^3*c^2*d + 4*a*b^2*c
^2*d - a^2*b*c*d^2 - 3*a^3*d^3)*((Sqrt[(-a + b)/(a + b)]*(a + b)*Cos[(e + f*x)/2]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]]*Ell
ipticE[ArcSin[(Sqrt[(-a + b)/(a + b)]*Sin[(e + f*x)/2])/Sqrt[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]], (2*(b*c - a*d))/(
(-a + b)*(c + d))])/(a*c*Sqrt[((a + b)*Cos[(e + f*x)/2]^2)/(b + a*Cos[e + f*x])]*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt
[(b + a*Cos[e + f*x])/(a + b)]*Sqrt[((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x]))/((c + d)*(b + a*Cos[e + f*x]))]) - (2*(b*c
- a*d)*(((b*c + (a + b)*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(e + f*x)/2]^2)/(c - d)]*Sqrt[((c + d)*(b + a*Cos[e + f*x])*Csc[(
e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]*Csc[e + f*x
]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]/Sqrt[2]], (2*(b*c -
a*d))/((a + b)*(c - d))]*Sin[(e + f*x)/2]^4)/((a + b)*(c + d)*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]
]) - ((b*c + a*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(e + f*x)/2]^2)/(c - d)]*Sqrt[((c + d)*(b + a*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/
2]^2)/(b*c - a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]*Csc[e + f*x]*Ellipti
cPi[(b*c - a*d)/((a + b)*c), ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*(d + c*Cos[e + f*x])*Csc[(e + f*x)/2]^2)/(b*c - a*d))]/Sqr
t[2]], (2*(b*c - a*d))/((a + b)*(c - d))]*Sin[(e + f*x)/2]^4)/((a + b)*c*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]*Sqrt[d + c*C
os[e + f*x]])))/(a*c) + (Sqrt[d + c*Cos[e + f*x]]*Sin[e + f*x])/(c*Sqrt[b + a*Cos[e + f*x]]))))/(3*c*(c - d)^2
*(c + d)^2*f*(b + a*Cos[e + f*x])^(5/2)*(c + d*Sec[e + f*x])^(5/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.607, size = 15912, normalized size = 17.9 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*sec(f*x+e))^(5/2)/(c+d*sec(f*x+e))^(5/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (b \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{5}{2}}}{{\left (d \sec \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sec(f*x+e))^(5/2)/(c+d*sec(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sec(f*x + e) + a)^(5/2)/(d*sec(f*x + e) + c)^(5/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sec(f*x+e))^(5/2)/(c+d*sec(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sec(f*x+e))**(5/2)/(c+d*sec(f*x+e))**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (b \sec \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{5}{2}}}{{\left (d \sec \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sec(f*x+e))^(5/2)/(c+d*sec(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sec(f*x + e) + a)^(5/2)/(d*sec(f*x + e) + c)^(5/2), x)